雅可比猜想(Jacobian conjecture)

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雅可比猜想（英語：Jacobian conjecture）是代數幾何領域中的一個問題，探討多變量多項式映射的可逆性。該猜想由數學家奧特-海因里希·凱勒於1939年提出，其後經施里拉姆·尚卡爾·阿布揚卡爾命名並推廣。猜想斷言：若一個多項式映射的雅可比行列式為非零常數，則該映射必存在多項式反函數。這個問題的表述只需微積分與基礎代數知識即可理解，但背後涉及的數學結構較為複雜。 雅可比猜想多年來吸引眾多數學家研究，史蒂芬·斯梅爾將其列入斯梅爾問題第十六題。歷史上曾有多位學者發表證明，但事後被發現存在錯誤，至少有數篇公開發表的證明已被推翻。單變量的情況早已獲證，而在雙變量情況下也有若干部分成果，例如已知當多項式次數不超過一百時猜想成立。 2026年7月，任職於Anthropic的數學家萊文特·阿爾波格（Levent Alpöge）借助大型語言模型，在三維複數空間中找出明確反例，推翻了變量數大於二時的雅可比猜想。雙變量的雅可比猜想目前仍未解決。 雅可比行列式與猜想敘述 雅可比行列式 令 n > 1 {\displaystyle n>1} 為固定的整數，考慮多項式 F 1 , … , F n {\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}} ，變量為 X = ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{n})} ，係數在特徵為零的代數閉域 k {\displaystyle k} 中。（可假設 k {\displaystyle