ヤコビアン予想(Jacobian conjecture)

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数学におけるヤコビアン予想（英: Jacobian conjecture）とは、多項式写像の可逆性に関する問題である。標数 0 {\displaystyle 0} の体 k {\displaystyle k} 上の多項式写像 F : k N → k N {\displaystyle F\colon k^{N}\to k^{N}} について、ヤコビ行列式が非零定数ならば F {\displaystyle F} は多項式逆写像を持つ、という主張であった。 この主張は、2変数の場合については1884年にルートヴィヒ・クラウスによってすでに述べられていたが、その証明には誤りがあった。1939年にはオット・ハインリヒ・ケラーが整数係数の多変数多項式について改めて定式化した。のちにシュリーラム・アビヤンカールによって、主張自体は初等的な多変数微分積分学の知識で理解できる一方、解決には深い代数幾何学を要する問題の例として広く知られるようになった。 ヤコビアン予想には長年にわたり多数の証明が提出されたが、その多くには微妙な誤りが発見されてきた。2026年7月、数学者Levent Alpögeは3変数の場合の明示的な反例を公表し、この例をAnthropicの大規模言語モデル「Claude Fable 5」が発見したと述べた（#3変数の反例参照）。したがって予想は N ≥ 3 {\displaystyle N\geq 3} で偽である。一方、 N = 2 {\displaystyle N=2} の場合は2026年7月現在も未解決であり、 N = 1 {\displaystyle N=1} の場合は自明に成立する